中国教育

　　例三，“变中有不变”的观点

　　“数学文化”课中“变中有不变”的观点，是从陈省身先生的一句话说起的。陈先生在上个世纪70年代末，在北京大学的一次演讲中说，“三角形三内角之和等于180度”这个命题不好。他讲这句话的背后，有很深刻的数学思想。学生如果领会了该思想，就意味着创新意识的提高。为什么呢？

　　陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度，这个命题不对”，而是说“这个命题不好”。

　　从“三角形三内角之和等于180 度”这个命题，可以推出“n 边形 n内角之和等于180 度 × ( n-2 )”的命题。方法是在凸n 边形内添加( n-3 )条辅助线，使n 边形变为( n-2 )个三角形。例如，图5所示的凸7边形就可以通过添加4条辅助线，使7 边形变为5个三角形。然后，再利用“三角形三内角之和等于180 度”便完成证明。

　　图5  凸七边形

　　而学生在中学就学过关于n边形 n（同旁）外角之和的一个命题：“n边形n外角之和等于360度”。

　　现在，我们来比较“n 边形 n 内角之和等于180度×( n-2 )”与“n 边形n外角之和等于360 度”这两个命题。两个公式等号的左侧除“内”、“外”两字有别外，再没有其他差别，但等号右侧则有重大的差别：前一个公式的等号右侧依赖于n；而后一个公式的等号右侧不依赖于n。

　　换句话说，前一个命题“n边形n内角之和等于180度×( n-2 )”表明，n 边形n内角之和是与n有关的，随着n的变化而变化；而后一个命题“n边形n外角之和等于360度”则表明，n边形n外角之和是与n无关的，不随着n的变化而变化，或者说，当n变化时它始终不变，简称为“变中有不变”。

　　客观事物都是处在不断地运动和变化中的。在这种运动和变化中，事物的大多数性质也会随之改变；但可能有些性质却相对稳定，并不改变，这就是“变中有不变”。这种“变中有不变”的性质，在事物变化时具有相对的稳定性，说明它反映了事物的某种本质，值得我们更加专注地研究。

　　数学家就有这样的眼光，善于抓住事物中“变中有不变”的性质，善于抓住事物的本质。在这样的意义下，陈省身先生说，“三角形三内角之和等于180度，这个命题不好”，而“n 边形 n 外角之和等于360 度” 这个命题较好。

　　类比地想一想，数学家在许多场合下都是这样看问题的。

　　直角三角形可以千变万化，但无论怎样变化，斜边的平方都等于两条直角边的平方和，这就是直角三角形中“变中有不变”的性质，描述了直角三角形的本质。这就是“勾股定理”。

　　圆的大小也可以千变万化，圆的周长及直径都随之变化，但无论圆怎样变化，圆的周长与直径的比，是“变中有不变”的性质，描述了圆的本质。这个比值就是“圆周率”。

　　大学“线性代数”中学到向量组时，提到一个向量组中可能有许多向量，但是可以在其中找到“极大线性无关向量组”，能够把向量组中所有向量都线性表出。极大线性无关向量组不是唯一的，可以变化，但是极大线性无关向量组中向量的个数是不变的，这也是“变中有不变”的性质，描述了这个向量组的本质。因此，我们专门定义一个概念，把极大线性无关向量组中向量的个数，称为该向量组的“秩”。

　　类似的“变中有不变”的例子不胜枚举。由此看到陈先生思想的深刻。

　　以上的举例，希望说明如何在“数学文化”课中实施素质教育及培养学生的创新思维。“数学文化”课程目前方兴未艾，相信今后在全国会有更加长足的发展。

　　参考文献：

　　[1]  李大潜．数学科学与数学教育刍议[J] ．中国大学教学．2005，4：4-9.

　　[2]  顾沛．数学文化[M]．北京：高等教育出版社，2008．