中国教育

　　例二，数学的抽象

　　数学的抽象，本来是数学的特点、优势和有力手段。但是，如果教学不得法，却会使学生因数学抽象而感觉枯燥、难学，这是教师的失误；“数学文化”课应该还“抽象”以本来面貌。为了让学生理解“抽象”的优势，了解“抽象”的方法和作用，实践“抽象”的过程，学会“抽象”的手段，进而喜欢“抽象”，我们常常举“哥尼斯堡七桥问题”作为例子。解决问题时让学生融入其中，一起探索，在解决问题的过程中培养学生的创新思维，效果很好。

　　哥尼斯堡是欧洲一座美丽的城市，有一条河，流经该市，河中有两个小岛，岛与两岸间，岛与岛间有七座桥相连，如图4a所示。人们晚饭后沿河散步时，常常走过小桥来到岛上，或到对岸。一天，有人想出一种游戏来，他提议“不重复地走遍这七座桥”，看看谁能先找到一条路线。这引起许多人的兴趣，但尝试的结果，没有一个人能够做到--不是少走了一座桥，就是重复走了一座桥，如图4b所示。多次尝试失败后，有人写信求教于当时的大数学家欧拉。欧拉思考后，首先对地图进行抽象，把岛和岸都抽象成“点”，把桥抽象成线，就得到由一些点和线构成的图形，简称“点线图”。然后，欧拉再对问题进行抽象，把“哥尼斯堡七桥问题”抽象成“一笔画问题”：笔尖不离开纸面，一笔画出给定的“点线图”，不允许重复任何一条线，这简称为“一笔画”。

　　图4  哥尼斯堡七桥问题

　　有些“点线图”是可以“一笔画”的；有些“点线图”却不能“一笔画”。需要解决的问题是：找到“一个'点线图'可以一笔画”的充分必要条件，并且对可以“一笔画”的图形，给出“一笔画”的方法。

　　上述把实际问题抽象为“一笔画问题”的过程，可以由教师讲解；要让学生体会到，把岛和岸都抽象成“点”，把桥抽象成线，既简化了问题的条件，又突出了问题的本质。下面欧拉解决问题的过程，则可以让学生融入其中，一起探索。

　　首先告诉学生，欧拉把图形上的点分成了两类；请学生考虑，如果是自己作这种分类，分成哪两类？如果1～2分钟后还没有学生举手，教师可以再用一句话作启发：“注意到每个点都是若干条线的端点，能否由此想出把点分为两类的方法？” 以至还可带有重音地点拨：“分为'两'类。” 如果1分钟后还没有学生举手，教师可以再进一步启发：“每个点都是若干条线的端点，线的条数是不是都是整数，整数如何分成两类？”不久就会有学生想到，要分成两类，偶数和奇数就是两类；可以按进出某点的线为偶数或奇数来对点进行分类。教师随即加以肯定，并给出定义：如果以某点为端点的线有偶数条，就称此点为偶结点；如果以某点为端点的线有奇数条，就称此点为奇结点。

　　其次，教师再发问：“为了'一笔画'成功，图中的偶结点多一些好，还是奇结点多一些好？”，还可点拨：“可以自己画画看。要想不重复地一笔画出一个图形，那么除去起始点和终止点两个点外，其余每个点，如果画进去一条线，就一定要画出来一条线。”（“从而都必须是偶节点”一句故意隐去不说）很快就会有学生举手回答：“偶结点多一些好，奇结点少一些好。”

　　再其次，教师进一步发问：“奇结点少一些好，少到几个才行？”于是，“一笔画”的必要条件是“'点线图'中的奇结点不多于两个（起点和终点）”，就呼之欲出了。

　　然后，再组织学生讨论其充分条件：如果'点线图'中的奇节点不多于两个，就一定能以奇结点为起点和终点完成一笔画。这样，学生就和欧拉一样，探索得出了“'点线图'可以一笔画”的充分必要条件：图形中的奇节点不多于两个。再由此看哥尼斯堡七桥问题，“点线图”中有四个奇节点，因此该图形不能一笔画。难怪对于“不重复地走遍七座桥”的游戏，所有的尝试都失败了。

　　这里，学生作为主体，融入解决问题的过程当中，与主人公欧拉同思考，共探索，完成了数学抽象的全过程，培养了创新思维，也提高了学习研究的兴趣。这就好像教游泳，不但教给学生游泳的方法、要点、技巧，也给学生提供了下水实践的机会，这样才能自主学习，也才能真正学会游泳。当然，其中教师的点拨作用，也是必要和重要的。

　　这就是所谓“研究性教学”，让学生在探究的过程中不但学会知识，同时学会研究的方法，学会学习。这再次说明，学会知识学生当然会有收获；而探究知识的过程学生会更有收获。教师不但应该注重教学的结果，也应该注重教学的过程。